रैंडमली प्राइम नंबर चुनने की संभावना

संख्या सिद्धांत की एक शाखा है गणित पूर्णांक के सेट के साथ ही यह चिंता है। हम अपने आप को कुछ हद तक ऐसा करने से रोकते हैं क्योंकि हम सीधे अन्य नंबरों का अध्ययन नहीं करते हैं, जैसे कि तर्कहीन। हालाँकि, अन्य प्रकार के वास्तविक संख्याये उपयोग किया जाता है। इसके अतिरिक्त, संभावना के विषय में संख्या सिद्धांत के साथ कई कनेक्शन और चौराहे हैं। इनमें से एक कनेक्शन का वितरण के साथ करना है अभाज्य सँख्या। अधिक विशेष रूप से हम पूछ सकते हैं, क्या संभावना है कि 1 से एक बेतरतीब ढंग से पूर्णांक चुना गया है एक्स एक अभाज्य संख्या है?

किसी भी गणित की समस्या के रूप में, यह समझना महत्वपूर्ण है कि न केवल क्या धारणा बनाई जा रही है, बल्कि समस्या के सभी प्रमुख शब्दों की परिभाषा भी है। इस समस्या के लिए हम सकारात्मक पूर्णांक पर विचार कर रहे हैं, जिसका अर्थ है पूर्ण संख्या 1, 2, 3,।.. कुछ संख्या तक एक्स. हम बेतरतीब ढंग से इनमें से किसी एक नंबर को चुन रहे हैं, जिसका अर्थ है कि सभी एक्स उनमें से समान रूप से चुने जाने की संभावना है।

हम इस संभावना को निर्धारित करने की कोशिश कर रहे हैं कि एक अभाज्य संख्या चुना गया है। इस प्रकार हमें अभाज्य संख्या की परिभाषा को समझने की आवश्यकता है। एक अभाज्य संख्या एक धनात्मक पूर्णांक होती है जिसमें दो कारक होते हैं। इसका अर्थ यह है कि अभाज्य संख्याओं के केवल भाजक एक हैं और स्वयं संख्या। तो 2,3 और 5 प्राइम हैं, लेकिन 4, 8 और 12 प्राइम नहीं हैं। हम ध्यान दें कि क्योंकि अभाज्य संख्या में दो कारक होने चाहिए, संख्या १ है

इस समस्या का हल कम संख्या के लिए सीधा है एक्स. हमें बस इतना करना है कि उन अपराधों की संख्या को गिनें जो कि कम या बराबर हैं एक्स. हम कम या अधिक के बराबर primes की संख्या को विभाजित करते हैं एक्स संख्या से एक्स.

उदाहरण के लिए, संभावना को खोजने के लिए कि 1 से 10 तक एक प्राइम को चुना जाता है, हमें 1 से 10 तक की संख्या को 10 से विभाजित करने की आवश्यकता होती है। संख्या 2, 3, 5, 7 अभाज्य हैं, इसलिए एक अभाज्य वस्तु के चयनित होने की संभावना 4/10 = 40% है।

1 से 50 तक एक प्रमुख का चयन करने की संभावना एक समान तरीके से पाई जा सकती है। ५० से कम वाले अपराध २: २, ३, ५, less, ११, १३, १ ९, १ ९, २३, २ ९, ३१, ३ less, ४१, ४३ और ४ 47 हैं। 50 से कम या इसके बराबर 15 प्राइमर हैं। इस प्रकार संभावना है कि यादृच्छिक पर एक प्रधानमंत्री का चयन 15/50 = 30% है।

जब तक हमारे पास प्रिम्स की एक सूची है, तब तक इस प्रक्रिया को केवल गिनती के द्वारा पूरा किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 100 से कम या उसके बराबर 25 प्रिम्स हैं। (इस प्रकार यह संभावना है कि 1 से 100 तक यादृच्छिक रूप से चुनी गई संख्या 25/100 = 25% है।) हालांकि, अगर हमारे पास कोई सूची नहीं है। primes की, यह कम्प्यूटेशनल रूप से चुनौतीपूर्ण हो सकता है कि अभाज्य संख्याओं के सेट को निर्धारित किया जाए जो किसी दिए गए से कम या बराबर हैं संख्या एक्स.

यदि आपके पास उन primes की संख्या की गिनती नहीं है जो इससे कम या बराबर हैं एक्स, तो इस समस्या को हल करने का एक वैकल्पिक तरीका है। समाधान में एक गणितीय परिणाम होता है जिसे प्राइम नंबर प्रमेय के रूप में जाना जाता है। यह प्रिम्स के समग्र वितरण के बारे में एक बयान है और इसका उपयोग उस संभावना को अनुमानित करने के लिए किया जा सकता है जिसे हम निर्धारित करने की कोशिश कर रहे हैं।

प्राइम नंबर प्रमेय में कहा गया है कि लगभग हैं एक्स / ln (एक्स) अभाज्य संख्याएँ जो कम या बराबर होती हैं एक्स. यहाँ ln (एक्स) के प्राकृतिक लघुगणक को दर्शाता है एक्स, या दूसरे शब्दों में आधार के साथ लघुगणक रेखावृत्त इ. के मान के रूप में एक्स सन्निकटन में सुधार होता है, इस अर्थ में कि हम कम से कम primes की संख्या के बीच सापेक्ष त्रुटि में कमी देखते हैं एक्स और अभिव्यक्ति एक्स / ln (एक्स).

हम जिस समस्या को हल करने की कोशिश कर रहे हैं, उसे हल करने के लिए हम अभाज्य संख्या प्रमेय के परिणाम का उपयोग कर सकते हैं। हम प्राइम नंबर प्रमेय द्वारा जानते हैं कि लगभग हैं एक्स / ln (एक्स) अभाज्य संख्याएँ जो कम या बराबर होती हैं एक्स. इसके अलावा, वहाँ की कुल कर रहे हैं एक्स सकारात्मक पूर्णांक से कम या इसके बराबर एक्स. इसलिए संभावना है कि इस श्रेणी में एक यादृच्छिक रूप से चयनित संख्या प्रमुख है (एक्स / ln (एक्स) ) /एक्स = 1 / ln (एक्स).

अब हम इस परिणाम का उपयोग पहले से बाहर एक प्रमुख संख्या को यादृच्छिक रूप से चुनने की संभावना को अनुमानित करने के लिए कर सकते हैं एक अरब पूर्णांकों। हम एक अरब के प्राकृतिक लघुगणक की गणना करते हैं और देखते हैं कि ln (1,000,000,000) लगभग 20.7 और 1 / ln (1,000,000,000) लगभग 0.0483 है। इस प्रकार हमारे पास पहले बिलियन पूर्णांकों में से एक प्रमुख संख्या को यादृच्छिक रूप से चुनने की लगभग 4.83% संभावना है।