सममित अंतर की परिभाषा को समझना

समुच्चय सिद्धान्त पुराने से नए सेट के निर्माण के लिए कई अलग-अलग ऑपरेशन का उपयोग करता है। दूसरों को छोड़कर, दिए गए सेटों से कुछ तत्वों का चयन करने के कई तरीके हैं। परिणाम आम तौर पर एक सेट होता है जो मूल लोगों से अलग होता है। इन नए सेटों के निर्माण के लिए अच्छी तरह से परिभाषित तरीके होना महत्वपूर्ण है, और इनमें से उदाहरणों में शामिल हैं संघ, चौराहा, तथा दो सेट का अंतर. एक सेट ऑपरेशन जो शायद कम प्रसिद्ध है, सममित अंतर कहा जाता है।

सममित अंतर की परिभाषा को समझने के लिए, हमें पहले 'या' शब्द को समझना चाहिए। हालांकि छोटा, अंग्रेजी भाषा में 'या' शब्द के दो अलग-अलग उपयोग हैं। यह अनन्य या समावेशी हो सकता है (और यह केवल इस वाक्य में विशेष रूप से उपयोग किया गया था)। अगर हमें बताया जाता है कि हम ए या बी में से चुन सकते हैं, और यह अर्थ अनन्य है, तो हमारे पास केवल दो विकल्पों में से एक हो सकता है। यदि भावना समावेशी है, तो हमारे पास ए हो सकता है, हमारे पास बी हो सकता है, या हमारे पास ए और बी दोनों हो सकते हैं।

आमतौर पर संदर्भ हमें निर्देशित करता है जब हम शब्द के खिलाफ चलते हैं या हमें यह सोचने की ज़रूरत नहीं है कि इसका उपयोग किस तरीके से किया जा रहा है। अगर हमसे पूछा जाए कि क्या हम अपनी मलाई या चीनी पसंद करेंगे

शब्द 'या' इस प्रकार संघ की परिभाषा में समावेशी अर्थ में नियोजित है। सेट ए और बी का संघ ए या बी में तत्वों का सेट है (उन तत्वों को शामिल किया गया है जो दोनों सेटों में हैं)। लेकिन एक सेट ऑपरेशन करना सार्थक हो जाता है जो ए या बी में सेट वाले तत्वों का निर्माण करता है, जहां विशेष अर्थ में 'या' का उपयोग किया जाता है। इसे हम सममित अंतर कहते हैं। सेट ए और बी के सममित अंतर ए या बी में वे तत्व हैं, लेकिन ए और बी दोनों में नहीं। जबकि अंकन सममित अंतर के लिए भिन्न होता है, हम इसे इस रूप में लिखेंगे A ∆ बी

सममित अंतर के एक उदाहरण के लिए, हम सेटों पर विचार करेंगे ए = {1,2,3,4,5} और बी = {2,4,6}. इन सेटों के बीच सममित अंतर {1,3,5,6} है।

सममित अंतर को परिभाषित करने के लिए अन्य सेट ऑपरेशन का उपयोग किया जा सकता है। उपरोक्त परिभाषा से, यह स्पष्ट है कि हम ए और बी के सममित अंतर को ए और बी के अंतर के रूप में व्यक्त कर सकते हैं और ए और बी के चौराहे पर। प्रतीकों में हम लिखते हैं: ए (बी = (ए) बी) - (ए (बी).

कुछ अलग सेट संचालन का उपयोग करते हुए एक समतुल्य अभिव्यक्ति, नाम सममित अंतर को समझाने में मदद करती है। उपरोक्त सूत्रीकरण का उपयोग करने के बजाय, हम निम्नानुसार सममित अंतर लिख सकते हैं: (ए - बी) ∪ (बी - ए). यहां हम फिर से देखते हैं कि सममित अंतर ए में तत्वों का समूह है, लेकिन बी में नहीं, या बी में नहीं, बल्कि ए। इस प्रकार हमने ए और बी के चौराहे में उन तत्वों को बाहर रखा है। गणितीय रूप से यह साबित करना संभव है कि ये दोनों सूत्र समान हैं और समान सेट को संदर्भित करते हैं।

नाम सममितीय अंतर दो सेटों के अंतर के साथ एक संबंध का सुझाव देता है। यह निर्धारित अंतर उपरोक्त दोनों सूत्रों में स्पष्ट है। उनमें से प्रत्येक में, दो सेटों के अंतर की गणना की गई थी। समरूपता के अंतर के अलावा जो सममितता निर्धारित करता है, वह है इसकी समरूपता। निर्माण से, A और B की भूमिकाओं को बदला जा सकता है। यह दो सेटों के बीच के अंतर के लिए सही नहीं है।

इस बिंदु पर जोर देने के लिए, केवल एक छोटे से काम के साथ हम देखेंगे सममिति के समरूपता को हम देखेंगे ए ∪ बी = (ए - बी) ∆ (बी - ए) = (बी - ए) ∪ (ए - बी) = बी = ए.