कैसे एकाधिकार के खेल में संभावना खेलता है

एकाधिकार एक बोर्ड गेम है जिसमें खिलाड़ियों को पूंजीवाद को कार्रवाई में लाना होता है। खिलाड़ी संपत्ति खरीदते हैं और बेचते हैं और एक-दूसरे से किराया लेते हैं। हालांकि खेल के सामाजिक और रणनीतिक हिस्से हैं, खिलाड़ी दो मानक छह-पक्षीय पासा को रोल करके बोर्ड के चारों ओर घूमते हैं। चूंकि यह नियंत्रित करता है कि खिलाड़ी कैसे चलते हैं, इसलिए खेल के लिए संभावना का एक पहलू भी है। केवल कुछ तथ्यों को जानकर, हम गणना कर सकते हैं कि खेल की शुरुआत में पहले दो मोड़ के दौरान कुछ निश्चित स्थानों पर उतरने की कितनी संभावना है।

प्रत्येक मोड़ पर, एक खिलाड़ी दो पासा चलाता है और फिर उसके टुकड़े को बोर्ड पर कई जगह घुमाता है। तो यह समीक्षा करने में सहायक है दो पासा रोल करने की संभावनाएं। सारांश में, निम्नलिखित योग संभव हैं:

• दो का योग 1/36 है।
• तीन के योग में प्रायिकता 2/36 है।
• चार के योग में प्रायिकता 3/36 है।
• पाँच के योग में प्रायिकता 4/36 है।
• छह के योग में संभाव्यता 5/36 है।
• सात के योग में प्रायिकता 6/36 है।
• आठ के योग में संभाव्यता 5/36 है।
• नौ के योग में प्रायिकता 4/36 है।
• दस के योग में प्रायिकता 3/36 है।
• ग्यारह की राशि में संभावना 2/36 है।
• बारह के योग में 1/36 संभावना है।

ये संभावनाएँ बहुत महत्वपूर्ण होंगी क्योंकि हम जारी रखेंगे।

हमें एकाधिकार गेमबोर्ड पर भी ध्यान देने की आवश्यकता है। गेमबोर्ड के चारों ओर कुल 40 स्थान हैं, इनमें से 28 गुण, रेलमार्ग, या उपयोगिताओं को खरीदा जा सकता है। छह रिक्त स्थान में संभावना या सामुदायिक चेस्ट बवासीर से एक कार्ड बनाना शामिल है। तीन स्पेस फ्री स्पेस हैं जिसमें कुछ भी नहीं होता है। करों का भुगतान करने वाले दो स्थान: आयकर या विलासिता कर। एक स्थान खिलाड़ी को जेल भेजता है।

हम केवल एकाधिकार के खेल के पहले दो मोड़ पर विचार करेंगे। इन मोड़ों के दौरान, हम बोर्ड के चारों ओर मिल सकते हैं बारह बार दो बार रोल करने और कुल 24 स्थानों को स्थानांतरित करना है। इसलिए हम केवल बोर्ड पर पहले 24 स्थानों की जांच करेंगे। आदेश में ये स्थान हैं:

1. भूमध्यसागरीय एवेन्यू
2. समुदाय खजाना
3. बाल्टिक एवेन्यू
4. आयकर
5. पठन रेलमार्ग
6. ओरिएंटल एवेन्यू
7. मोका
8. वर्मोंट एवेन्यू
9. कनेक्टिकट टैक्स
10. सिर्फ विजिटिंग जेल
11. सेंट जेम्स प्लेस
12. इलेक्ट्रिक कंपनी
13. स्टेट्स एवेन्यू
14. वर्जीनिया एवेन्यू
15. पेंसिल्वेनिया रेलमार्ग
16. सेंट जेम्स प्लेस
17. समुदाय खजाना
18. टेनेसी एवेन्यू
19. न्यूयॉर्क एवेन्यू
20. नि: शुल्क पार्किंग
21. केंटकी एवेन्यू
22. मोका
23. इंडियाना एवेन्यू
24. इलिनोइस एवेन्यू

पहला मोड़ अपेक्षाकृत सीधा है। चूँकि हमारे पास दो डाइस रोल करने की संभावनाएँ हैं, इसलिए हम इनका उपयुक्त वर्गों के साथ मिलान करते हैं। उदाहरण के लिए, दूसरा स्थान एक कम्युनिटी चेस्ट स्क्वायर है और इसमें दो के योग की 1/36 संभावना है। इस प्रकार पहले मोड़ पर कम्युनिटी चेस्ट पर उतरने की 1/36 संभावना है।

नीचे पहली बारी में निम्नलिखित स्थानों पर उतरने की संभावनाएँ हैं:

• सामुदायिक छाती - 1/36
• बाल्टिक एवेन्यू - 2/36
• आयकर - 3/36
• पढ़ना रेलमार्ग - 4/36
• ओरिएंटल एवेन्यू - 5/36
• संभावना - 6/36
• वर्मोंट एवेन्यू - 5/36
• कनेक्टिकट टैक्स - 4/36
• जस्ट विजिटिंग जेल - 3/36
• सेंट जेम्स प्लेस - 2/36
• इलेक्ट्रिक कंपनी - 1/36

दूसरी बारी के लिए संभावनाओं की गणना करना कुछ अधिक कठिन है। हम दोनों घुमावों पर कुल दो रोल कर सकते हैं और न्यूनतम चार स्थानों पर जा सकते हैं, या दोनों मोड़ों पर कुल 12 और अधिकतम 24 स्थानों पर जा सकते हैं। चार और 24 के बीच कोई भी स्थान तक पहुँचा जा सकता है। लेकिन इन्हें अलग-अलग तरीकों से किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, हम निम्नलिखित संयोजनों में से किसी को भी स्थानांतरित करके कुल सात स्थान ले सकते हैं:

• पहली बारी में दो स्थान और दूसरी बारी में पांच स्थान
• पहली बारी में तीन स्थान और दूसरी बारी पर चार स्थान
• पहले मोड़ पर चार स्थान और दूसरे मोड़ पर तीन स्थान
• पहली बारी में पाँच स्थान और दूसरी बारी में दो स्थान

संभावनाओं की गणना करते समय हमें इन सभी संभावनाओं पर विचार करना चाहिए। प्रत्येक टर्न थ्रो अगले टर्न थ्रो से स्वतंत्र होता है। इसलिए हमें चिंता करने की जरूरत नहीं है सशर्त संभाव्यता, लेकिन सिर्फ संभावनाओं में से प्रत्येक को गुणा करने की आवश्यकता है:

• एक दो को रोल करने की संभावना और फिर एक पांच (1/36) x (4/36) = 4/1296 है।
• एक तीन और फिर एक चार रोल करने की संभावना (2/36) x (3/36) = 6/1296 है।
• एक चार और फिर तीन रोल करने की संभावना (3/36) x (2/36) = 6/1296 है।
• एक पांच और फिर दो रोल करने की संभावना है (4/36) x (1/36) = 4/1296।

दो बारी के लिए अन्य संभावनाओं की गणना उसी तरह की जाती है। प्रत्येक मामले के लिए, हमें गेम बोर्ड के उस वर्ग के अनुरूप कुल राशि प्राप्त करने के लिए सभी संभावित तरीकों का पता लगाना होगा। नीचे दिए गए रिक्त स्थान पर पहली बारी पर उतरने की संभावनाएँ (प्रतिशत के निकटतम सौवें भाग तक) हैं:

• आयकर - 0.08%
• पठन रेलमार्ग - 0.31%
• ओरिएंटल एवेन्यू - 0.77%
• संभावना - 1.54%
• वर्मोंट एवेन्यू - 2.70%
• कनेक्टिकट टैक्स - 4.32%
• बस विजिटिंग जेल - 6.17%
• सेंट जेम्स प्लेस - 8.02%
• इलेक्ट्रिक कंपनी - 9.65%
• स्टेट्स एवेन्यू - 10.80%
• वर्जीनिया एवेन्यू - 11.27%
• पेंसिल्वेनिया रेलमार्ग - 10.80%
• सेंट जेम्स प्लेस - 9.65%
• सामुदायिक छाती - 8.02%
• टेनेसी एवेन्यू 6.17%
• न्यूयॉर्क एवेन्यू 4.32%
• नि: शुल्क पार्किंग - 2.70%
• केंटकी एवेन्यू - 1.54%
• संभावना - 0.77%
• इंडियाना एवेन्यू - 0.31%
• इलिनोइस एवेन्यू - 0.08%

अधिक मोड़ के लिए, स्थिति और भी कठिन हो जाती है। एक कारण यह है कि खेल के नियमों में यदि हम तीन बार दोहराते हैं तो हम जेल जाते हैं। यह नियम हमारी संभावनाओं को उन तरीकों से प्रभावित करेगा, जिन पर हमें पहले विचार नहीं करना था। इस नियम के अलावा, मौका और सामुदायिक चेस्ट कार्ड के प्रभाव हैं जो हम विचार नहीं कर रहे हैं। इन कार्डों में से कुछ खिलाड़ी सीधे स्थानों पर जाने और विशेष स्थानों पर सीधे जाने के लिए निर्देशित करते हैं।

बढ़े हुए कम्प्यूटेशनल जटिलता के कारण, मोंटे कार्लो विधियों का उपयोग करके केवल कुछ मोड़ से अधिक के लिए संभावनाओं की गणना करना आसान हो जाता है। यदि मोनोपॉली के लाखों खेल नहीं हैं, तो कंप्यूटर हजारों की संख्या में अनुकरण कर सकता है, और इन खेलों से प्रत्येक स्थान पर उतरने की संभावनाओं की गणना की जा सकती है।