गणित में 'यदि और केवल यदि' का उपयोग कैसे करें

आंकड़ों और गणित के बारे में पढ़ते समय, एक वाक्यांश जो नियमित रूप से दिखाता है, "यदि और केवल यदि।" यह वाक्यांश विशेष रूप से गणितीय प्रमेयों या प्रमाणों के कथनों में प्रकट होता है। लेकिन क्या, ठीक है, इस कथन का मतलब है?

"अगर और केवल अगर" समझने के लिए, हमें पहले यह जानना चाहिए कि सशर्त बयान का क्या मतलब है। एक सशर्त कथन वह है जो दो अन्य कथनों से बनता है, जिसे हम P और Q से निरूपित करेंगे। एक सशर्त विवरण बनाने के लिए, हम कह सकते हैं "यदि P तब Q."

इस तरह के बयान के निम्नलिखित उदाहरण हैं:

• अगर बाहर बारिश हो रही है, तो मैं अपनी छतरी अपने साथ मेरे चलने पर ले जाऊंगा।
• अगर आप मेहनत से पढ़ाई करते हैं, तो आप एक ए कमाएंगे।
• अगर n 4 से विभाज्य है, फिर n 2 से विभाज्य है।

तीन अन्य बयान किसी भी सशर्त बयान से संबंधित हैं। इन्हें कहा जाता है उलटा, उलटा और गर्भनिरोधक. हम मूल स्थिति से पी और क्यू के क्रम को बदलकर और उलटा और गर्भनिरोधक के लिए "नहीं" शब्द डालकर इन बयानों को बनाते हैं।

हमें केवल यहां पर विचार करने की आवश्यकता है। यह कथन मूल रूप से "यदि Q से P। मान लीजिए कि हम सशर्त से शुरू करते हैं “अगर बाहर बारिश हो रही है, तो मैं मेरे साथ मेरे चलने पर मेरा छाता ले लो। ” इस कथन का संकेत है, “यदि मैं अपनी छतरी को अपने साथ ले जाऊं, तो बारिश हो रही है बाहर।"

हमें केवल इस उदाहरण पर विचार करने की आवश्यकता है कि मूल स्थिति तार्किक रूप से इसके कायल के समान नहीं है। इन दो बयान रूपों की उलझन को ए के रूप में जाना जाता है त्रुटि हुई. एक छतरी पर टहलने के बावजूद भी बाहर बारिश नहीं हो सकती है।

एक अन्य उदाहरण के लिए, हम सशर्त पर विचार करते हैं "यदि एक संख्या 4 से विभाज्य है तो यह 2 से विभाज्य है।" यह कथन स्पष्ट रूप से सत्य है। हालाँकि, यह कथन "यदि कोई संख्या 2 से विभाज्य है, तो वह 4 से विभाज्य है" गलत है। हमें केवल 6 जैसी संख्या को देखना होगा। हालाँकि 2 इस संख्या को विभाजित करता है, 4 नहीं करता है। जबकि मूल कथन सत्य है, इसका आक्षेप नहीं है।

यह हमें एक द्विसंयोजक कथन के लिए लाता है, जिसे "यदि और केवल यदि" कथन के रूप में भी जाना जाता है। कुछ सशर्त बयानों में भी बातचीत होती है जो सच है। इस मामले में, हम एक द्विसंयोजक कथन के रूप में जाना जाता है। एक द्विसदनीय कथन का रूप है:

"यदि पी तो क्यू, और यदि क्यू तो पी।"

इसके बाद से निर्माण कुछ अजीब है, खासकर जब पी और क्यू अपने स्वयं के तार्किक कथन हैं, हम वाक्यांश का उपयोग करके एक द्विघात के बयान को सरल करते हैं "यदि और केवल यदि।" इसके बजाय "यदि P तब Q, और यदि Q है, तो P" के बजाय हम कहते हैं कि "P if और only if Q।" यह निर्माण कुछ को समाप्त करता है अतिरेक।

वाक्यांश के एक उदाहरण के लिए "यदि और केवल अगर" जिसमें आंकड़े शामिल हैं, तो नमूना मानक विचलन से संबंधित तथ्य से आगे नहीं देखें। डेटा सेट का नमूना मानक विचलन बराबर है शून्य यदि और केवल यदि सभी डेटा मान समान हैं।

हम इस द्विअर्थी बयान को एक सशर्त और इसके आक्षेप में तोड़ते हैं। फिर हम देखते हैं कि इस कथन का अर्थ निम्नलिखित है:

• यदि मानक विचलन शून्य है, तो सभी डेटा मान समान हैं।
• यदि सभी डेटा मान समान हैं, तो मानक विचलन शून्य के बराबर है।

यदि हम एक शर्त को साबित करने का प्रयास कर रहे हैं, तो अधिकांश समय हम इसे विभाजित करते हैं। यह हमारे प्रमाण के दो भाग हैं। एक हिस्सा जो हम साबित करते हैं, "यदि P तब Q. है।" प्रमाण के दूसरे भाग की हमें आवश्यकता है "यदि Q तब P."

द्विसंयोजक बयान उन स्थितियों से संबंधित हैं जो आवश्यक और पर्याप्त दोनों हैं। "आज है तो कथन पर विचार करें।" ईस्टर, तो कल सोमवार है। ” आज ईस्टर होना सोमवार होने के लिए कल के लिए पर्याप्त है, हालांकि, यह आवश्यक नहीं है। आज ईस्टर के अलावा कोई भी रविवार हो सकता है, और कल भी सोमवार होगा।

वाक्यांश "यदि और केवल अगर" का उपयोग गणितीय लेखन में आमतौर पर पर्याप्त रूप से किया जाता है कि इसका अपना संक्षिप्त नाम है। कभी-कभी "अगर और केवल अगर" वाक्यांश के बयान में द्विसंयोजक केवल "iff।" इस प्रकार कथन "P if and only if Q" बन जाता है "P iff Q."