रैंडम वेरिएबल्स के क्षण उत्पन्न करने वाले कार्य

माध्य और विचरण की गणना करने का एक तरीका संभावना वितरण खोजने के लिए है अपेक्षित मूल्य यादृच्छिक चर के एक्स तथा एक्स². हम संकेतन का उपयोग करते हैं इ(एक्स) तथा इ(एक्स²) इन अपेक्षित मूल्यों को निरूपित करने के लिए। सामान्य तौर पर, गणना करना मुश्किल है इ(एक्स) तथा इ(एक्स²) सीधे। इस कठिनाई को पूरा करने के लिए, हम कुछ और उन्नत गणितीय सिद्धांत और कलन का उपयोग करते हैं। अंतिम परिणाम कुछ ऐसा है जो हमारी गणना को आसान बनाता है।

इस समस्या की रणनीति एक नए फ़ंक्शन को परिभाषित करने के लिए है, एक नए चर की टी उस पल को फ़ंक्शन जनरेटिंग कहा जाता है। यह फ़ंक्शन हमें केवल डेरिवेटिव लेते हुए क्षणों की गणना करने की अनुमति देता है।

इससे पहले कि हम क्षण उत्पन्न करने वाले कार्य को परिभाषित करें, हम चरण को अंकन और परिभाषाओं के साथ निर्धारित करते हैं। हम जाने एक्स ए हो असतत यादृच्छिक चर. इस रैंडम वैरिएबल में प्रायिकता मास फंक्शन होता है च(एक्स). हम जिस सैंपल स्पेस के साथ काम कर रहे हैं, उसे दर्शाया जाएगा एस.

के अपेक्षित मूल्य की गणना करने के बजाय एक्स, हम संबंधित एक घातीय फ़ंक्शन के अपेक्षित मूल्य की गणना करना चाहते हैं

फ़ंक्शन जनरेटिंग फ़ंक्शन ऊपर दिए गए घातीय फ़ंक्शन का अपेक्षित मान है। दूसरे शब्दों में, हम कहते हैं कि पल उत्पन्न करने का कार्य एक्स द्वारा दिया गया है:

म(टी) = इ(इ^TX)

यह अपेक्षित मान सूत्र formula है इ^txच (एक्स), जहां सभी पर योग लिया जाता है एक्स में नमूना अंतरिक्षएस. यह एक परिमित या अनंत योग हो सकता है, जो कि उपयोग किए जा रहे नमूना स्थान पर निर्भर करता है।

क्षण उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन में कई विशेषताएं हैं जो संभावना और गणितीय आंकड़ों में अन्य विषयों से जुड़ती हैं। इसकी कुछ सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं में शामिल हैं:

• का गुणांक इ^टीबी संभावना है कि एक्स = ख.
• क्षण उत्पन्न करने वाले कार्यों में एक विशिष्ट गुण होता है। यदि दो रैंडम वैरिएबल्स के लिए क्षण उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन एक दूसरे से मेल खाते हैं, तो प्रायिकता मास फ़ंक्शंस समान होनी चाहिए। दूसरे शब्दों में, यादृच्छिक चर समान संभावना वितरण का वर्णन करते हैं।
• क्षण उत्पन्न करने वाले कार्यों का उपयोग क्षणों की गणना के लिए किया जा सकता है एक्स.

ऊपर दी गई सूची में अंतिम वस्तु पल उत्पन्न करने वाले कार्यों का नाम और उनकी उपयोगिता भी बताती है। कुछ उन्नत गणित का कहना है कि हमने जो शर्तें रखी हैं, वे फ़ंक्शन के किसी भी क्रम के व्युत्पन्न हैं म (टी) कब के लिए मौजूद है टी = 0. इसके अलावा, इस मामले में, हम सम्मान के साथ योग और विभेदन के क्रम को बदल सकते हैं टी निम्नलिखित सूत्र प्राप्त करने के लिए (सभी योगों के मूल्यों से अधिक हैं) एक्स सैंपल स्पेस में एस):

• म’(टी) = Σ XE^txच (एक्स)
• म’’(टी) = Σ एक्स²इ^txच (एक्स)
• म’’’(टी) = Σ एक्स³इ^txच (एक्स)
• म^(एन)’(टी) = Σ एक्सⁿइ^txच (एक्स)

अगर हम सेट करते हैं टी = उपरोक्त सूत्रों में 0 है, तो इ^tx पद बन जाता है इ⁰ = 1. इस प्रकार हम यादृच्छिक चर के क्षणों के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं एक्स:

• म’(0) = इ(एक्स)
• म’’(0) = इ(एक्स²)
• म’’’(0) = इ(एक्स³)
• म⁽ⁿ⁾(0) = इ(एक्सⁿ)

इसका मतलब यह है कि यदि किसी विशेष यादृच्छिक चर के लिए क्षण उत्पन्न करने वाला फ़ंक्शन मौजूद है, तो हम पल उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन के डेरिवेटिव के संदर्भ में इसका मतलब और इसका विचरण पा सकते हैं। मतलब है म'(0), और विचरण है म’’(0) – [म’(0)]².

सारांश में, हमें कुछ उच्च-शक्ति वाले गणित में उतरना पड़ा, इसलिए कुछ चीजें खत्म हो गईं। यद्यपि हमें ऊपर के लिए पथरी का उपयोग करना चाहिए, अंत में, हमारे गणितीय कार्य आमतौर पर परिभाषा से सीधे क्षणों की गणना करके आसान होते हैं।